二乗比例

私は、いろいろなところから
数学に関する質問やご意見などの
メールやお手紙をいただきます。

中には、手におえそうにない
壮大な証明を見て欲しい
というというものもあり、
困ってしまうこともあります。

9月の下旬に、
こんなメールをいただいていていました。

2次関数の指導について質問がありまして、
メールさせて頂きました。
グラフを書かせる指導を行うとき、
先生はよく「2乗に比例することを意識する」
という話をされていたと思います。
それを伝えるためにどのように
生徒へアプローチすればよいか
考えているのですが、
自分自身がこのことをよく分かっておらず、
いまひとつピンと来ません。
もしヒントとなるような資料がございましたら、
ぜひ頂きたいです。


うっかりして
返事を出しそびれておりましたので、
このブログ上で私の考えを述べたいと思います。

<二次関数の指導と二乗比例法則>
私は、これまで多くの高校の先生の授業を
拝見してきましたが、
二次関数のグラフの指導を行う際、
二乗比例法則に注意を払われない
先生方が多いことが気になっていました。

多くの先生は、グラフを描く場合、

頂点と、
「グラフの方程式」に代入して得られる
「わかりやすい周囲の点」をいくつかプロットし、
「軸対称性」に注意しながら
「なめらかに」描く、

などと指導します。

では、例えば、下の図ように、
「グラフの方程式」が与えられずに、
頂点と、他の一点の座標が決定されている
二次関数はどのように描画しますか、
というと、なぜか殆どの先生が
戸惑ってしまいます。



二乗比例08

二乗比例がイメージできれば、
頂点から一定の幅でxが増えると、
それにともなって、1:4:9:・・と
増加していくわけなので、
グラフの全体像がつかめます。

二乗比例09

では、二乗比例についての
私のアプローチを
少しだけ述べたいと思います。

まず、つかみネタです。
動画をアップしました。
これは、もう10年以上前に福島県の
ある女子高校に行った授業風景の
ほんの一部です。

その当時、動画アップの許諾を
いただいたものです。

スカートが超短い、
キャピキャピのJKですが、
とっても明るくピュアな彼女たちに
感動したことを覚えています。

因みに、参加したある生徒から、
この授業の経験で、
数学が大好きになって、
大学進学を考えるようになり、
その後頑張って勉強して、
東北大学の薬学部に合格した
との報告をいただきました。



この実験によって、二乗比例が
リアルな世界にあることがイメージされます。

では、

(楽しいだけでは許してくれない
人たちのために)

二乗比例法則が、
センター試験の問題などにも
繋がるような展開に焦点をあてて
以下に説明したいと思います。

二乗比例04

上図の左は正比例です。
1当たり量が決まれば、
それに対して、横がL倍になると、
縦もL倍になります。

2次関数は、図の右の様に、
1当たり量が決まれば、
それに対して横がL倍になると、
縦はL^2倍になります。

このことから、2次関数では、
どんな場所で切り取っても、
切り取る長さと頂点までの距離に関して
図のような重要な性質が導かれます。

二乗比例05

この性質を利用して
問題を2つ程解いてみましょう。

二乗比例06


二乗比例07

実際には、2次方程式を解いたり、
距離を計算したりと、煩雑な計算を
行わなければならない問題ですが、
二乗比例に着目すると、
見通しよくすっきりと解くことができますね。



 

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