豪華海鮮丼とセコイ消費税の話

昨日は、東京銀座方面への出張があり、
ちょっとはりこんで、
築地で海鮮丼の昼食をとりました。

豪華海鮮丼築地


2人で食べて、会計を別々に、
とお願いしたところ、
「会計はまとめてお願いします」
といわれました。
非常に混んでいるお店なので、
まあしょうがないか、
値段が変わるわけじゃないし、と思い、
まとめて支払ったのですが、
よく考えてみるとそうではないのですね。

因みに、私が食べた海鮮丼は
1,980円でしたが、消費税8%込で、
2,138円となります。

これと同じものを2人で食べたとすると、
一括の場合、
税抜きで3,960円の8%なので4,276円で、
別々の場合は、2,138円×2なので、
やはり4,276円で、
確かに同じ金額となります。

では、3人の場合だったらどうなるでしょう。
一括の場合は、
税抜き5,940円なので、税込6,415円。
ところが別々の場合は、
2,138円×3を計算すると、
6,414円と1円安くなります。

面白いので、エクセルで10個までの
場合の表を作ってみました。

消費税01

10個の場合は、4円違いますね。

そういえば昔、消費税がまだ3%の時代に
こんなことがありました。
娘と息子にアイスを買ってあげようとしたところ、
娘は130円のアイスが欲しいと言い、
息子は120円のソフトが欲しいと言いました。

250円の消費税は250×0.03=7.5なので7円。
つまり支払いは257円。
ところが別々に買うと、120円の消費税3円、
130円も3円なので、256円となり、
1円お得であることを私は素早く計算し、
子どもたちに別々に買ってこい!などと言って、
「ムフフ、どうだ数学の勝利じゃ!」
などとほくそ笑んだことがありました。

いや、別に私は、そんなセコイ話や、
お店の一括会計方式を非難するために
こんなことを書いたわけではありません。

数学の話をしたかっただけです。

消費税による金額を表す関数は、
f(x)=[1.08x]というガウス記号
(小数以下を切り捨てる)で表される
不連続な関数なので、
f(x+y)=f(x)+f(y) が成り立ちません。

一般に、f(sx+ty)=s f(x)+t f(y) 
が成り立つことを線形性といいます。

私は、この線形性の意味を、
「比が保存される性質」
といったりしています。

線形性01

図において、ABを t:s (s+t=1)
に内分する点をP(x)とすると、
それが写像 f によって移った先でも
その比 t:s が変わらないとします。

このとき、
Pの座標xは、x=sa+tb
f によって移った先は f(sa+tb)ですが、
比が保存されることから、
f(sa+tb)=sf(a)+t f(b) となりますね。

y=f(x)は線形性を満たす関数、
つまり直線ということです。

このように、比の保存で線形性を捉えると、
それが崩れた形が凸性と見ることができます。

つまり、ABで連続な関数で、
その区間でつねに
f(sa+tb)>sf(a)+t f(b) となっていれば、
いつでも直線ABの上側にPがあるので「上に凸」

f(sa+tb)<sf(a)+t f(b) となっていれば、
いつでも直線ABの下側にPがあるので「下に凸」

というように自然に凸性を捉えることができます。

2010年の東北大・理系に
次のような問題が出題されました。

線形性02

まともに計算すると結構大変な問題です。

ここで、

線形性03

とおくと、s+t=1なので
結局この問題は

f(sa+ty)>s f(a)+t f(y) と書けるので

凸性の定義そのものといっていいですね。

線形性04

つまりf(x)において上に凸になる区間
(f’’(x)<0となる区間)を求めよ
といういたってシンプルな問題だった
というわけです。


ゴージャスな海鮮丼の記事が、
気がついたら数学の話に・・・


 

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