一橋大の入試問題より

今年の一橋大学の入試に
数論で登場するオイラーの関数が
そのものズバリで出題されました。

問題はこれです。

一橋 2015

オイラーのφ関数は、
数論ではよく使われる関数で、
φ(n)は、n以下でnと互いに素
であるような整数の個数です。

高校の教科書にはありませんが、
中学生でも理解できるし(多分)、
第一面白いので、
私は次のような場面で
必ず教えてきました。

数Ⅰの教科書には
次のような定番問題がありますね。

問題1
100以下の自然数で2でも3でも
割り切れない数は何個あるか


次のように考えればいいですね。
2の倍数・・・50個(100÷2=50だから)
3の倍数・・・33個(100÷3=33・・・1だから)
6の倍数・・・16個(100÷6=16・・・4だから)
オイラー関数

図の斜線部分なので、
100-50-33+16=33個

この問題を次のように変形します。

問題1’
72以下の自然数で2でも3でも
割り切れない数は何個あるか


数字を変えただけですが
72は2と3のベキで
素因数分解できるので、
この問題は
「72以下で72と互いに素である
自然数の個数を求めよ」
という問題と同じになりますね。

どうでしょう、ほんのちょっとしたことですが、
このような「余談」を入れると、
大学の数学を展望する
内容にすることができます。

では解いてみましょう、
2の倍数・・・72/2=36個
3の倍数・・・72/3=24個
6の倍数・・・72/6=12個
つまり、
72-36-24+12=24個

さて、一般に
nが素数p,qだけで素因数分解できるとき、
今のような方法で、
n以下でnと互いに素であるような
自然数を求めてみましょう。

オイラー関数02

綺麗な式になりますね。

では、nが、p,q,rの3つの素数によって
素因数分解できる場合はどうでしょう。

nからp,q,rの倍数n/p,n/q,n/rを引きます。
すると、pq,qr,prの倍数が2回ずつ
引かれてしまったので
それを1個ずつ加えます。

ところが、そうすると、pqrの倍数が
1個多くたされてしまったので、
それを1個引きます。
これを式で書くと

オイラー関数03
私はこれを
「足しすぎ引きすぎ論」といっています。

イメージ図です
オイラー関数04

では、オイラー関数を用いて
一橋大の問題を解いてみましょう。

オイラー関数05

オイラー関数を使うと
素数定理まで展望することができます。

高校でも整数の単元も入ったので
このオイラー関数は取り上げたいところです。





 

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