通過領域と存在範囲

いよいよ国公立大の
前期試験が始まりますね。

私は、超難関大の数学の講座を
少し担当させていただきました。

確率、数論、3次関数の性質、
方程式の理論と講座を続けてきましたが、
昨日の最後の講座は、
通過領域と存在範囲の話をしました。

ウォーミングアップ問題として、
まず次の問題を示しました。

通過領域01

よく、「通る点」は代入できる、
と教える人がいます。(私もそうですが)
では、「通らない点」はどうでしょう。

私は、「通らない点」は「代入できない」
ではなくて、
「代入するととんでもないことになる」
と言っています。

「通る点」(X,Y)を※に代入すると、
それに応じて実数kの値が
決定するのですが、
通らない点を代入すると、
kの値が虚数という
「とんでもないこと」
になってしまうのですね。

だから、※式を、kを主役に書き換えて、
kの実数条件(判別式)から
x,yの関係式を作ればいいですね。

そんなことを話ながら、
更に、次の2つの問題を提示します。
結構苦労して作った問題です。

通過領域02

通過領域03

例2の※※式は、パラメータが2つあり、
一見複雑に見えますが、
両辺をsの二乗で割ると

通過領域06

ここで、k=t/s とおくと、これは例1の※式に帰着します。


例3の※※※式は、k=s+tとおいて、
kで表すと、これも実は
例1の※式に帰着します。

このように、例1~3は実は皆
同じ問題だったわけです。
(もちろん、例2・例3は
変域に注意しなければいけませんが)

この問題を解いた後、
次の2つの問題の解説を行いました。
例2・例3のアナロジーです。

通過領域04

通過領域05

東大1995-01

東大1995-02

東大1995-03



 

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