センター試験⑥

センター試験シリーズ第6回目

たまには、受験生のための
プラクティカルな話をしたいと思います。

一昨年度のセンター試験の
微積分の問題をとりあげてみましょう。



Pにおける「値」と
「接線の傾き」を比較する
共通接線の定番問題ですね。



さて、ここで、DのPにおける接線を
微分を経由せずに
求める方法で解いてみましょう。



ポイントは※印部分の変形です。

一般に、２次関数



の、x=α における接線の方程式は



となるのですが、
ここで述べたいのは、
そのような裏技的準公式を
覚えるということではありません。

ポイントは
「差の式による関数の組み換え」
です。

この考えを理解していれば、
センター試験ではかなり大きな
アドバンテージに
なるのではないかと思います。

例えば、



の、x=3 における接線の方程式が、
なぜ、



としてよいかは、
次のようにして生徒に説明し、
納得させます。



このアイデアが理解できれば、
放物線と接線で作られる図形の面積は、
以下のように解くことができます。



上の方法は、
それぞれのグラフと
x 軸と囲まれた部分の面積の
差分とは逆に、先に差の関数
を作って、その組み替えた関数と
x 軸で囲まれる図形の面積を
求めているということです
（定積分の線形性が効いている）。



上図は組み替えた関数