センター試験③

今回は、命題と論証の問題を
取り上げてみました。

ちょっと裏ワザチックな話です。
2011年のセンター試験を取り上げてみましょう。




このような問題について、
次のように指導をする先生がいます。

「条件の問題は4択なので、
わからなかったら考え過ぎず最後にまわす。
時間がなくなった時はカンでマーク。
それでも1/4の確率で当たる」

これは、私のいう裏技ではありません。

私が考える「裏技」を使えば、
問題の内容を見ずに
「十分条件」が濃厚であると予想がつきます。
それは裏技というより「常識」です。

命題「ｐならばｑ 」が真の場合、
条件ｐを満たす真理集合は、
条件ｑを満たす集合に
包含されていなければなりません。

ですから、条件ｐと条件ｑが述べている
集合の大きさを比較すれば、
必要条件か十分条件か
アタリをつけることは可能です。

ここで、次のようなことを考えておきます。

「または」という言葉は、
複数のものを合併することなので、
この言葉を含む条件の集合には
広がりがイメージできます。
同様に「～でない」という否定文で
述べられる場合も、発散の方向なので、
集合の要素がより多くなるとイメージできます。

一方、「かつ」を含む集合は、
複数の集合の共通部分なので、
「より小さい」というイメージを抱きます。
また、2次不等式の場合、
普通「A＜０」型の場合、
「A＞０」より狭い範囲の解になります。
（もちろんどちらも例外はありますが）

このような見方に立つと、
この問題では
ｑが「または」を含む条件になっていることや、
ｐの条件式の不等式の向き(＜)から見て、
（ｐの集合）⊂（ｑの集合）　
つまり、ｐ⇒ｑが真であることが予想できます。

極端な例をあげると、

「ｐまたはｑであることは
ｒかつｓであるための○○条件」

なんていう問題は、
明らかに仮定の部分が結論を
包含していると思われるので、
必要条件である
（少なくとも十分条件ではない）
と予測できるわけですね。

驚くべきことに、
センター試験の過去問は、
ほぼこの方法で正解にたどり着きます。

私がいいたい「裏技」とは、
命題「AならばB」において、
A、Bのどちらが部分でどちらが全体か
という視点に立って、
文脈から「または」「かつ」「補集合」などの
言葉を手繰り寄せながら類推することです。

これは、本質を押さえて
勉強していないと生じない発想であり、
見たことがない問題に対処するための
アブダクティブな方法論の一つだと思います。

昔、あるテレビ番組で
高校生のディベートをやっていました。
「A：同い年での会話はタメ口」
「B：同い年であっても敬語」
というテーマで侃々諤々と議論していました。
最後に投票でジャッジするのですが、
私は見ていて明らかに
Aに軍配が上がると思っていました。

なぜなら、Aの側は、Bに対して、
「時々はタメ口だっていいじゃん」とか
「同い年にいつも敬語ってどうよ」などと
反駁をしていたからです。

つまり、
AがBの補集合になってしまったのですね。
そりゃあ、Aの世界が膨らむわけです。
もしも、Bが
「同い年でも敬語での会話も時にはアリ」
などと言っていれば
Bに軍配が上がったのでしょうけど。
こんなロジックにひっからないためにも
数学は必要かなと思ったものでした。