フェフィナーの法則

意味もなくマッチ棒の
写真を撮ってみました。

写真①
まっち1本m

写真②
まっち2本m

写真③
まっち44本m

写真④
まっち45本m


写真①はマッチ棒が2本
写真②は3本、
写真③は44本、
写真④は45本です

本数の変化に注目してみましょう。

マッチ棒が2本から3本に増えたときと、
44本から45本に増えたときは、
どちらも増加量は1本です。

でも、「増えた!」というイメージは
2本から3本の時の方が大きいですね。

44本と45本のときは、増えたという
「びっくり感」は無いですよね。

マッチ棒の本数と、
それを見た人間のイメージ
(例えば火を点けたときに受ける感覚)
が、関数関係になっているとしましょう。

つまり、マッチ棒の本数がx本のとき、
それを見て抱く感覚をy=f(x) とします。

すると、人間の感覚は、
xが小さい時の変化の方が
大きい時よりも、
強く感じることがいえそうです。


マッチ棒の個数は離散的な変化ですが、
仮に、連続的に変化する、
ある刺激xに対して、
それから受ける感覚をyとすると、

ある瞬間における感覚の変化は
f(x)の微分f’(x)と考えることができます。

すると、先ほどのマッチ棒の例から考えて、
刺激と感覚には、次のことが言えそうです。

刺激から受ける感覚の変化の具合は、
刺激の強さに反比例する。


これを微分方程式で定式化すると
 y’=k/x (kは比例定数)
(感覚の変化量は、
そのときの刺激の大きさに反比例する)

これを解くと、
 y=klogx+C 
対数関数になりました。

つまり、刺激が等比数列的に変化するとき、
人間の感覚は等差数列的に受け止める、
ということが言えるわけです。

例えば、ドド#レレ#ミファ・・・の音階は、
音源から発した音が、
空気の振動を通して、鼓膜に届きます。

その物理的な刺激
(空気の振動数)によって、
音階として脳にイメージされます。

ここで、平均律の場合、
ド→ド# の振動数の変化量と、
ド#→レの振動数の変化量は、
同じ半音の変化として
脳にイメージされますが、
実は刺激の変化量は同じではありません。

平均律による音階は、
音が高くなるほど
振動数の変化量は大きくなる
(指数関数的)ように作られているのです。

もし、平均律の
すべての半音の変化量が、
等しく割り振られていれば、
聴く側は、
恐らく高音になればなるほど、
平板に聞こえるでしょう。

刺激が、等比数列(指数関数)的に
変化することで、
人間は、等差数列(比例関数)的に
受け止めるというわけですね。

それは、人間とは、刺激が、
ある程度のレンジを超えると、
それを分析する能力が
低下する生き物なのかもしれません。

これをフェフィナーの法則といいます。

 

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