フスマ開け問題

数学の問題で、
関数の、ある区間内における
最大最小を求める問題があります。

特に、区間が変化するとき、
それに応じて
最大値や最小値が変わる問題は、
高校1年生で習う
2次関数の応用問題の定番ですね。

一つの「答え」を計算して求める、
という中学で学んできた数学から、

「場合分けによる分類」という
一つレベルの高い内容に
始めて出会う
問題ではないかと思います。

場合ごとに、それを記述した「言葉」が
丸ごと答案になるので、
それまで、数式だけで解答を行ってきた
人にとっては、
革命的な変化といってもいいでしょう。

数学の問題解決は、
自分だけで納得するのではなく、
思考した内容を、
相手に納得させるように表現して
始めて完遂したことになります。

そのためのツールとして
「数式」があるわけですが、
しかし、問題が高度になれば、
数式の羅列だけでは、
表現できません。
ですから「言葉」や「図・グラフ」などが
必要になるわけですね。


前置きが長くなりました。

以前、私は、「フスマ開け問題」を
イメージするために、
フスマの模型を作って説明していました。

fusuma-#01

デコパネと工作用紙で簡単に作ります。
ちゃんとスライドして開くところがポイントです。

ちょっと遊んでみます。

ふすま1
なんだと思いますか?
大きな魚の口?

では、もう少しフスマを開けてみましょう
ふすま2
何と!、ペンギンでしょうか?
もう少し開けてみましょう。
ふすま3
おや? もしかしてカモ?
では全部開けてみましょう。

ふすま4
ウサギさんだ!

とまあ、
「襖を開けると状況がだんだん変化する」
ことが実感できればOKですね。

では、3次関数の最大値問題を
この教具を使って考えてみましょう。
fusuma#02
右端が変化する区間を考えましょう。
今の時点では、最大値は
「右端のときの値」
ですね。

では、もう少し区間を広げてみましょう。
fusuma#03

おっと。ここでは最大値は右端ではなく
頂点(極大の地点)ですね。

更に右に動かしていきましょう。
fusuma#04
この時は、また右端が最大ですね。

つまり、場合分けは、
「頂点の前後」と
「頂点と右端の高さが等しくなる地点の前後」
ということになります。

問題を解く前に、
たった2~3分の活動ですが、
こんなカンジでイメージづくりをすれば、
気持ちよく授業が進められます。

そして、授業の最後に、

「では、頂点と右端が
同じ高さになる地点はどこか」

について、
一般の3次関数の性質を
次の図で示します。

fusuma#05

それは、どんな3次関数でも

●極小値と同じ高さになる左端
●極大値
●変曲点(点対称の中心)
●極小値
●極大値と同じ高さになる点

の5つの点のx座標は
等間隔に並ぶということです。

「とっておきのヒミツ」
などといえば、生徒はきっと
得した気分になってくれるかも。

 

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