予想が裏切られる話

以前、生徒に配っていた数学通信に、
次のような問題を出したことがありました。

円周上に点を取ります。

点の個数と、すべての点どうしを結んで
円が分割される領域の個数にはどんな
関係が成り立つでしょう。

点の個数を n とし、領域の個数を an
とすると、n=1からn=5までの図は
次のとおり。

en-ten01.png

数列を調べると

1,2,4,8,16

となるので、これは、初項1公比が2の
等比数列だ!
と、殆どの生徒が考えます。

しかし、n=6のときを調べると、

en-ten02.png

どんなに数えても32にはならず、31個
が答です。

つまり、

1,2,4,8,16という倍々のルールは、
6番目で破綻するわけですね。

類推は危険であること。
そして、類推の後は論証が必要であることを
この問題は教えてくれます。

さて、では、この数列はどのようなルールで
成り立っているのでしょうか。

一般項を考えてみてください。

解答は後日。






 

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