無理数の無理数乗

今回の体育大会は、
何とか25日のみ参加できました。

私は頑張ってバドミントン、バレー、ソフトボールの
3種目に出場しました。
足が心配でしたが、大丈夫でした。

これは、事前に、マッサージのプロ!である
3年生の福田君からふくらはぎマッサージを
してもらったおかげだと思います。

彼曰く、私のふくらはぎは
張っていて危ない状況とのこと。
大事にしたいと思います。
ありがとうございます。

さて、福田君といえば、
5月に行われた緑丘セミナーでの講演会で、
「超越数の超越数乗が有理数になるものが存在するか」
という質問をして、講師を感心させていました。

私は、この質問を聞いたとき、
次の2つのことを思い浮かべました。
それを以下に記しておこうと思います。

=======================
<その① トリビアルな例>
log2=t  とおくと、

f001.png
なので、

t は代数方程式の解にならないから、超越数である。

一方、自然対数の底 e も
超越数であることが知られている。

よって、

f002.png
は確かに超越数の超越数乗である。

ところが、この値は2なので、
これは超越数の超越数乗が
有理数となる一つの例である。

このような考えからいくらでも、
超越数の超越数乗が有理数になる例を作れる。

<その② 無理数の無理数乗>
無理数の無理数乗で
有理数のものが存在することは、
次のような論法で説明できる。

f003.png
という数を考える。

もしこれが有理数だとすると、
無理数の無理数乗が有理数
となるものが存在したことになる。

では、これが無理数だとする。

ここで、

f004.png

という数を考える。

①は無理数と仮定しているので、
この数は無理数の無理数乗である。

このとき、

f005.png (有理数)

つまり、  
①②のどちらかはわからないけれど、
一方は、必ず有理数となることがわかる。
====================

なお、
ドイツの生んだ「現代数学の父」
と呼ばれる20世紀の数学者ヒルベルトは、
後世に伝える未解決問題を
1900年に発表しました。
ヒルベルト23の問題といわれます。

この中の第7番目に

「自明な例外を除き、代数的数a、
代数的無理数bに対し、aのb乗は超越数か?」

という問題があります。

これは、1934年に、
アレクサンダー・ゲルフォントと
テオドール・シュナイダーによって、
独立に肯定的に証明されたとのことです。
(ゲルフォント=シュナイダーの定理)
(Wikipediaによる)

このことから、①は実は無理数(超越数)
であったわけです。

 

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