素数が無限にあることの証明

昨日(4月4日)、本校の山根先生から、
素数が無限に存在することの簡素な証明が
2006年にフィリップ・サイダックによって
発見されたという話を伺いました。

知らなかった。

 Wikipediaを見ると、その証明は
以下のように記されています。

【サイダックの方法】
n は2以上の整数とする。n と n + 1 は互いに素なので、
N2 = n (n + 1) は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。
同様に、N2 と N2 + 1 は互いに素なので、
N3 = N2 (N2 + 1) は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。
この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を
持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。


なるほど。操作を続けると、その度に新しい因数が生まれ、
操作は無限に続けられるから素数は無限にあるということ。

ところで、ユークリッドによる素数が無限にあることの
有名な証明は、いろいろな語られ方があります。

ある本には次のように書かれていました。

素数が有限個しかないことを仮定し、それを小さい順に
 1<p1<p2<p3<⋯<pn とする
N=p1× p2×p3×⋯×pn+1 とおくと、
N はp1~pn で割り切れないので素数である。
 pn<N となり、pn が最大素数であることに反する。(終)



ここで、「N=p1× p2×p3×⋯×pn +1 とおくと、
N はp1~pn で割り切れないので素数である」

という部分は、確かに仮定においてはそうですが、
「いくつかの素数の積+1は素数である」
という誤解も生じかねませんね。

例えば、2×7+1=15=3×5 だし、
2×3×5×7×11×13+1=59×509 という例もあります。

というわけで、私は、フィリップ・サイダックの手法をまねて、
ユークリッドの証明を次のような解釈で考えてみました。

【シモマックの方法】
 2つの素数a,bについて、N=ab+1という数をつくる。
 ① Nが素数ならば、abN+1という数をつくる。
 ② Nが合成数ならば、必ずa,bとは異なる素因数cを持つので、
   abc+1という数をつくる。
 ①または②でつくった数について同じ操作を無限に続けていくことができる。
 よって、素数は無限に存在する。


これは、新しい証明法として、認められるだろうか。
それとも、また誰かにパクられてしまうのだろうか。

多分そのどちらでもない。

ユークリッドの証明は、私が考えた方法を内包しているので、
新しい証明というほどでもないからだ。


 

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