「負の数の2進数表現」

負の数の2進数表現の
まとめ第二弾は、１バイトで
２進数を表現する方法についてです。

ホワイトボードの板書とともに
説明していきましょう。

１バイトは8bitでしたね。

ということは、
２の８乗＝256
の情報を表現できます。
ですから、負でない（０以上の）
10進数であれば、
0～255までを表すことができますね。

さて、ここでバイキンマ～ンが登場し、
アンパンチ君にこう言います。

「いいか。世の中は
陰と陽で成り立っているんだぜ。
だから俺たちダークサイドの世界にも
半分よこせ」

アンパンチ君は了解し、
1バイトの領域の半分をダークサイド、
つまり負の数に割り当てることにしました。

具体的には、
－128から－1までを割り当てます。


ここまでをホワイトボードの板書で
示しておきます。



では、負の数をどのように
2進数で表現すればよいでしょうか。

例えば小さい数から順に
00000000＝－128
00000001＝－127
00000010＝－126
・
・
・
11111111＝127

などと割り当てればいいかというと、
確かに大小関係は保存されますが
これでは足し算のルールが
乱れてしまってマズイことになります。

負の数を定義するためには、
正の数の反数を考えること、
つまり和がゼロとなるような
ペアを考える必要があります。

そうです。世界はすべからく
陰陽で成り立つのです（笑）

そこで捻りだしたのが、
0を00000000とするのではなく、
100000000と、9桁にして表そう
というアイデアです。

8bitから桁がオーバーフローした部分は
その桁を「落とす」ということです。

こうすると、－１は、１の反数なので

00000001に対して
桁を反転させて11111110とし、
そこに１を足した11111111
を対応させれば良いことがわかります。

このようにして
－128から127までを表したのが
次の図です。



先頭ビットが０の時が正の数、
１の時が負の数を表しています。

この先頭ビットは
「符号ビット」と呼ばれます。

このようにすることで、
矛盾なく反数ペアを網羅でき、
加算回路だけで計算を
賄うことができるわけです。

では一つ練習してみましょう。

－27を１バイトで2進数表現するには
どうすればよいか考えましょう。

まず、27を2進数表現します。

27＝16＋8＋2＋1なので
11011となりますね。

でも1バイトなので0を付加して、
00011011
とします。

これの相方（反数）を考えるわけですね。

反転させて
11100100

１を足して
11100101

これが－27の1バイト上での
2進数表現です。

これを負の数の補数表現といいます。

確認しましょう

00011011＋11100101＝100000000

和が定義された０となったので
OKですね。

授業ではこの様子を
下のような4コマ漫画で表しましたね。



オマケの話題を一つ。

11010111という1バイトの数は
一般的には、
128＋64＋16＋4＋2＋1＝215
を表します。

一方、これを負の数の補数表現と見ると、

反転させ
00101000

１を加えて
00101001

これを10進数にすると
32＋8＋1＝41　
つまり、11010111は
－41を表します。



因みに、215から2の8乗の256を引くと
215－256＝－41

ちょっと数学的な表現をすると
215≡－41 （mod 256(8bit))
ってこと。

今回はここまでっ！