「2進数の引き算」

「社会と情報」の授業は、
先週から2進数の引き算や、
負の数の表現などに入っています。

生徒の復習用に、
授業のエッセンスをこのブログに
まとめておきたいと思います。

今回は、2進数の引き算の原理についてです。

１　10000円で買い物

もう30年以上前ですが、
「いちのへストア」（現在のジョイス）などの
スーパーマーケットの就職試験に
釣り銭計算の適性試験が
出されていたことがありました。

2564　3876　8924　7631　･･･

など、4桁の数がたくさん並んでいて、
10000円札からのお釣りを
どんどん書いていくというものです。

皆さんはどのように計算しますか。

実はこの計算には
スペシャルメソッドがあります。

それは9による補数表現を使う方法です。

９の補数とは、
例えば5といわれたら４、
6だったら3というように、
あわせて9になるような
相方の数のことです。

この考えによって、
次のように釣り銭計算します。

例えば2464円の場合、
まず次のように各桁の数の
補数を書き込みます。

２　→　７　
４　→　５
６　→　３
４　→　５

出てきた答えに１を足せば
それが1万円からのお釣りです。

７５３５＋１＝７５３６円

なぜこのようにできるのでしょう。

それは、

10000＝9999＋１

と考えれば簡単にわかります。

10000－2464
＝9999＋1－2464
＝9999－2464＋１
＝7535＋1
＝7536

ということですね。

私は初任校で、
就職試験に向かう生徒たちに
9による補数を
瞬時に頭に浮かべるような
トレーニングをしていました。

学力検査で数学の点数が
0点～9点という生徒が
たくさんいる学校でしたが、
どの生徒も、
とっても楽しく取り組んでくれて、
全員が30秒で20個以上の釣り銭を
書き込めるようになったことを覚えています。


２　９の補数表現を用いた引き算

では、この考えを使って
引き算をしてみましょう。

例えば、

734－485

を考えましょう。

普通に引き算しようとすると、
引かれる数より引く数が
大きかったりすると面倒ですね。

そこで、次のように考えます。

734－485
＝734－485＋1000－1000

いきなり1000を足して1000を引きます。

こうやっても元の式と変わりませんね。

伊藤潤一先生によると、
このような手法を

「殴って、さする」

というのだそうです。

頭を殴ってからさすれば、
何もしなかったことと同じ、というね（笑）。

さて、さらに次のように考えていきます。

734－485＋999＋1－1000
＝734＋(999－485＋1)－1000

上の式のカッコ内が
先ほどの補数表現によって、
瞬時に515とわかります。

ということは、
734＋515という「足し算」をして、
その結果である和の1248の
最高位の位（1000）を落としたものが
答えということになりますね。

３　2進数の引き算

では本題に入りましょう。
いよいよ2進数の引き算です。

例えば、

111011－101100

という６bitの2進数の引き算を
考えてみましょう。

まず、「殴ってさすり」ます。

111011－101100＋1000000－1000000

ここで、

1000000＝111111＋000001

であることに注意してください。

すると、今度は引く数101100の、
9ではなく１による補数表現を
考えるわけです。

つまり、

101100＋ナゾの数＝111111　

となるような数です。

それは、101100の各桁の数について、
0を1、1を0に反転させればいいだけですね。
これは10進数よりめっちゃカンタンです。

そこで、010011が得られ、
それに000001を足すと
010100が得られます。

すると、最初の引き算は

111011＋010100－1000000

つまり、最初の2数の和を求めて、
最高位の数を
カットすればいいということです。

足し算はもう皆さんやっていますから
大丈夫ですね。

111011＋010100＝1001111

よって答えは001111ということになります。

実際、111011を10進数で表すと
32+16+8+2+1=59

101100を10進数で表すと
32+8+4=44

59－44＝15となり、
15を2進数（６ビット表現）で表すと
001111となるので、
確かに正しいことがわかりますね。

このように引き算を補数による
足し算に変換することで、引き算も
コンピュータ上では加算回路だけで
賄うことができるわけです。

簡単な方法ですが、普段使わないので
忘れてしまいそうですね。
ホワイトボードに書いた
板書をあげておきますので
時々確認してくださいね。






では次回は
負の数の2進数表現についてまとめますね！