「1/f ゆらぎ」あなたと夜と数学と

「1/f ゆらぎ」

昨日の桜雲祭で、
本校が「総合的な学習の時間」で行っている
「自由研究」の代表発表（「総学バトル」）
が行われました。

「自分の気持ちはどのように作られるか」
について独創的な研究を行ったものや、
将来フリースクールの教師をやりたい
という思いを持ち、
その実現の可能性を求めた研究など、
印象に残る面白い発表がありました。

その中で、M君の「音のクスリ」という発表は、
音楽に「1/fゆらぎ」を入れることで、
心理的な効果を高めるというもので、
興味がそそられました。

この発表を聴いて、
私が以前本校に勤務していた時に、
AO入試に向けての指導で、
カズヒサ君という生徒に
1/fゆらぎの話をしたことを思い出しました。

そのときに作った問答形式のプリントを
以下に紹介したいと思います。

あちこち怪しい部分はありますが、
まずは雰囲気だけでも掴んでほしい
という思いから作ったものです。

１　ゆらぎとは

T：今日は、1/fゆらぎについて私の知る範囲で、
　簡単な説明を行いたいと思います。

S：まず、「ゆらぎ」とは何なのですか。

T：そうですね。まず、そこから説明しましょう。
　「ゆらぎ」の研究の第一人者である、
　武者利光先生の言葉によると、
　『ものの予測のできない空間的、時間的変化』
　ということだそうです。

S：それって、でたらめな運動ということですか。

T：いや、「でたらめ」ではないのです。
　「でたらめ」と「規則性」の間の状態という感じですね。　　
　例えば、時間と共に変化する数字の列があったとします。
　この列が、
　1,19,100,－3,34,77,－24,100,57,22,4, …
　というものだったら、　　
　これはランダム（でたらめ）な列といえそうですが、
　1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, …
　という数列だったら、これは第n項が　　
　an=2n－１
　という一般項で表される規則正しい列です。　　
　このような規則的な数列は、
　項の何番目でもその値を決定することができますね。　　

　このような列を「ランダム系」に対し
　「決定系」と呼ぶことにしましょう。　　

　さて、では次の数列はどうでしょう。

　1,3,2,3,4,3,2,1,2,3,4,2,3,2,7,6,5,5,2,3,4,5, …

　この数列には全体に適用できるような規則はありませんが、
　ランダムというカンジでもありませんね。
　「前の項に対し±1の変化を基本に、時々大きな変化も起こる」　　
　ような数列です。このような数列は
　「ゆらぎ」といっていいのではないでしょうか。　　　
　このような数列の特徴として、
　現在の状態の直後は予測できるけれど、
　ずっと先はどうなっているかわからないということがあります。

　このような系を「ランダム系」「決定系」に対し、
　「複雑系」と呼ぶことにします。

S：つまり、ゆらぎとは、「規則性」と「意外性」が
　拮抗した状態といっていいのですね。　　
　何か具体的なものを示してください。

T：一番よく例に出されるのは、そよ風ですね。
　そよ風は一定の強さではなく、
　強くなったり弱くなったりゆらいでいます。
　それから、小川のせせらぎとか、
　音楽も時間と共に音の高低や大小が変化しているので、
　ゆらぎとみる事もできます。
　人間の心拍数や体温の変化もゆらぎの一つですね。

２　1/fゆらぎとは

S：では、1/fゆらぎとはなんでしょうか。

T：まず、ゆらぎとは時間と共に変化するある量の状態なので、
　これを時間tの関数f(t)と表すことにします。
　このとき、そのゆらぎに関わる要素として
　「強さ（パワー）」と「周期性」に注目してみます。　　
　例えば、f(t)が次のようなグラフで表された場合を考えます。

　

（時間と共に変化する気温）

　この波は、以下の４つのサインカーブ、
　コサインカーブに分解できます。

　y=sin2πt

　y=－3sin4πt

　y=2cos6πt

　y=2sin10πt

S：つまり、
　f(x)=sin2πt－3sin4πt+2cos6πt+2sin10πt
　ということなのですね。どのようにすれば
　このように分解できることがわかるのですか。

Ｔ：それにはフーリエ級数の考えを用いますが、
　その説明は後にします。
　ここでおさえて欲しいことは、
　ある区間内で書かれたどんなグラフも
　三角関数の無限和によって
　表すことができるということです。
　この考えはフランスの数学者
　ジョージ・フーリエによって示されました。
　さて、そうすると、先ほどの関数は、
　周期1 , 1/2 , 1/3 , 1/5つまり、
　周波数 1 , 2 , 3 , 5 の関数で表されます。　　
　このとき、各周波数に対する波の強度をパワースペクトルといいます。　　
　周波数をf、パワースペクトルをPとしたときに、
　P=1/fの関係が成り立つとき、1/fゆらぎというのです。
　つまり、周波数が2倍になると、パワーが半分になる、
　3倍になるとパワーが1/3になる、ということですね。

S：なんとなくわかったような気がするのですが、
　パワースペクトルというのはどのようにして求めるのでしょう。

T：例えば、波の強さとして、「振幅」を考えることができますね。
　上の例では、波の強さは順に1,3,2,2と考えることができます。　　
　ただ、これはパワースペクトルとは少し違います。
　これも後でフーリエ級数のところで話しましょう。

S：少し難しいので、もっと簡単な例で説明してくれませんか。

T：そうですね。では、少し乱暴になるかもしれませんが、
　先日カズヒサ君と話したときの方法で説明しましょう。

３　1/fゆらぎの超アバウトな説明

T：ええと。では、バスケットボールの話しをしたいと思います。
　今、A君が、バスケットボールのフリースローを何度も行ったとします。
　入ったときを○、はずしたときを×とすると、
　時間と共に変化する１つの系列を作ることができますね。
　これを時系列といいます。　　
　例えば、結果が、
　○○×○×○××○○○×××○××○×○○×○○○○○×○×○××○
　という結果だったとします。
　これのゆらぎを調べてみます。
　まず、周期を無理やり導入してみましょう。
　○○○…と、ずっと○が続くのを周期１とします。　　
　また、○×○×…と、1回おきに○が起こるものを周期２とします。
　次に、○××○…と2回おきに○が起こるものを周期３としましょう。

　このように「周期」を定義すると、上の結果から、
　各周期ごとにその回数はどうなるでしょう。

S：つまり、周期１は、○○という状態が
　何回起きているか調べればよいのですね。　　　　　

　

　上の表のようになりました。

T：ここで、周期sと出現回数Pをグラフに表すとどのようになりますか。

S：図の様になります（実際はx軸ｙ軸は、ｓ軸P軸となる）。
　

　なるほど、P＝1/sのグラフになっているので、
　これが1/fゆらぎということですね。

T：先ほどあなたが作った表が、
　いわゆる、周波数ごとの波の強さを
　スペクトル分解して分析したということになります。　　
　そして、スペクトルの強さはここでは、
　「出現回数」ということにしましたが、
　一般にはパワースペクトル密度とよばれるものを
　計算することになるのです。

S：なるほど。そして、そのグラフを見ると、
　シュートをした人の特性がわかるのですね。

T：例えば、光は波ですが、太陽の光をプリズムを通すと、
　赤橙黄緑青藍紫の7色に分かれますね。
　光の色は波長(周波数）に対応するので、
　プリズムで投影された色の幅の太さが
　その波長の強さを表しています。
　太陽光の場合だと、色の幅が均等になりますね。

　このようにスペクトルを分析することで、
　様々な性質を知ることができるのです。　　

　しかし、そよ風や、音などのゆらぎは、
　プリズムを通してスペクトル分析ができないので、
　周波数（振動数）と振幅を調べることで
　パワースペクトル密度を考えようというのです。

４　フーリエ級数

T：では、最後にフーリエ級数の話しをします。　　
　先ほど少し話をしましたが、ある区間内で描かれた
　任意の（有界な）関数f(x)は、
　必ず三角関数を用いて表すことができます。　　　
　具体的には、
　

　とあらわせます。　　
　関数として式で表されなくても、
　例えば下図のような手書きの任意の図形だって、　　
　三角関数で表されるのです。
　

　さて、私達は、上のようなゆらぎのグラフから、
　どの周期の三角関数が、どれだけの強さで
　入っているかということが知りたいわけです。　　
　ということは、f(x)内における、すべてのnに対しての
　sin nxとcos nx の係数を求める必要がでてきます。　　　

　ところで、ここで、とても素晴らしいことに、
　cos nx とsin nxとの係数、an , bnは、
　なんと、次の積分によって表されてしまうのです。

　