別解シリーズの紙板書

今年は、アクティブ・ラーニングに関する講演の依頼は、
お断りしていることが多いのですが、
数学教育に関する講演は、週休日や長期休暇中など、
日程を限定してお受けしています。

特に出張が錯綜することが多いので、
茨城県、石川県、静岡県の数学部会や
京都の高校で使う資料の一部を
web上に置いておこうと思いました。

写真の紙板書は、
1つの問題に対する10通りのアプローチを
考えてみたものです。ラフな解答ですが。

かつて、ある高校の3年生で実践したものです。
その時は、⑦と⑩は除いて、
8つのグループでそれぞれの問題を分析、理解し、
グループどうしで紹介しあうという活動を行いました。

アプローチが異なっても真実に辿りつくこと、
数学はつながっていることを
実感してもらおうと思って作りました。

この別解シリーズはまだたくさんありますが、
10種類は最大かなと思います。

問題はこちら
別解シリーズLT

①1文字消去して平方完成
 一般的な解法です。
別解①LT

②シュワルツの定理
別解②

③ベクトルの内積の応用
 実は②と同値です。
別解③LT

④自明な不等式から出発
 解答から逆向きに考えた
 ちょっとズルい解法です。
別解④LT

⑤分散を考える
 ④の不等式から分散がテーマになると考えました。
別解⑤LT

⑥絶対不等式
 ④⑤⑥は親戚のようなものです。
別解⑥LT

⑦空間における平面と点の距離
 高校の内容からはずれます。
 等号成立条件が抜けていますが、
 法線ベクトルと向きが等しい時なので
 a=b=cが導かれます。
別解⑦LT

⑧偏微分の考え
 いわゆる「予選・決勝」問題。
 昔私は「男の中の男を求める」といっていました。
 最小となる値の中での最小を求めるということです。
別解⑧LT

⑨関数の凸性の利用
 分散の式と同値です。
別解⑨LT

⑩3次関数
 無理やり10個目をつくりだした。
 ちょっと苦しいですね。
別解⑩LT

ここまでアップしたら、名城大の竹内先生から
2次方程式の実数条件を用いるのはどうか
というご指摘をいただきましたので、
その解法と、相加相乗平均の不等式を
用いた解法も示しておきたいと思います。

⑪相加相乗平均の不等式
 これは、⑥に帰着するタイプです。
 ⑥とセットにして示すとよいかもしれません。
別解⑪LT

⑫2次方程式の実数条件
 実はこれも、⑥に帰着します。
 2次方程式の判別式の本質は
 解の差の2乗なので、
 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
 という自明な不等式から出発したものと
 同等の解法になります。
別解⑫LT

 

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