ヘキソミノの拡大

フェルトボールでヘキソミノの話をしていたら、
ＦＢ上で、田原さんからこんな問題を紹介されました。



この図を４つの合同の図形に分けよ、という問題。

小学校の問題だそうです。

図の様に格子線を入れて
12個の正方形に分割するアイデアが浮かべば、
3個の正方形を繋げた図形（トロミノ）
で分割することに気づきます。



田原さんは、一般性を見るために、
次の図形を４つの合同図形に
分割する問題も提示してくれました。



これも格子を入れて、
ペントミノ（Ｐ型ペントミノ）で分割できます。



田原さんのコメントを見ながら、
私はこんなことを考えました。

ペントミノは全部で12種類あります。

今、１つのペントミノを選びます。

例えばＰ型ペントミノを選んだとしましょう。

ここで、このペントミノを2倍した図形を考えると、
面積は2乗に比例するので、
ペントミノ4個が必要です。
また、3倍した図形は、
9個のペントミノが必要です。

ここで、1＋4＋9＝14　なので
2倍したものと3倍したものに
Ｐ型ペントミノを1個ずつ加えれば、
この３つの図形を12種類のペントミノと、
加えた２つのＰ型ペントミノで
実現可能だろうということです。

というわけでやってみました。

鉛筆で書いて消して、何とかできました！



因みにヘキソミノは35種類のピースがあり、
１^2＋３^2＋５^2＝３５なので
あるピースと、それを
3倍、5倍に拡大したピースに
全部を埋め込むことが可能です。

更に、３５＝６^2－１に注目すれば、
あるピースを6倍したものから、
1個のピースを除いて
（同じピースを2個使うことを一度だけ許して）
全部を埋め込むことが可能です。




何かマニアックになってしまいましたね。