九九の表はあなどれない

以前、東京駅前にある丸善の洋書コーナーで、
外国で使われている九九の表をみつけました。
九九の表


日本と違って、12×12までの表になっています。
 
たかが九九の表とあなどるなかれ。
これを眺めていると、いろいろなことが見えてくるのです。

kuku3.png
上の九九の表に現れる数の合計はいくつでしょう。

それを考える前に、次の図を見て下さい。
kuku1.png

図の様な田んぼがあると思って下さい。
この面積はいくつでしょう。

(1+2+3)^2=6^2=36 ですね。

このとき、9か所それぞれの面積を足してもいいですね
kuku2.png

これは、まさに九九の表。

つまり、九九の表に現れる数の総和は
自然数の和の公式を使えば

kuku5.png

と考えることができます。

さて、今度は、九九の表を下図のように、
L字型で区切って和を考えてみましょう。
kuku4.png

計算してみると、
kuku6.png

なんと! 3乗和になっています。

つまり、九九の表の各数の総和を、
二通りの方法で数えることにより

kuku7.png

が実感できました。

九九の表を眺めると、まだまだ面白い発見がありますよ。  

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