「数列の和マニアック系」

久しぶりに数学の記事を書きます。
今回はマニアック系です。

初項a公差dの等差数列の
第n項までの和は

suretuwa-03.png

と表すことができます。

この式の右辺を展開してみましょう。

suretuwa-04.png

更に、コンビネーションの記号を用いると

suretuwa-05.png

と表すことができます。

なぜ、このように表せるのでしょう。
次の図で説明します。

sureruwa-01.png

これは数列の下方に階差を、
上方に和をつくっていった図です。

これを見ると、例えば、第6項までの和は
aが6回、dが15回
足されていることがわかりますね。

つまり、求める和は、
a,dがそれぞれ何回足されるかを
調べればよいということですね。

この足される回数は、
上に示した図を見れば、
次のような道順の数を
数えあげることに
対応していることがわかります。

<aの足される回数を示す図>

suretuwa-18.png


<dの足される回数>

suretuwa-02.png

このことから、等差数列の和は
コンビネーションを用いて
表されることがわかるわけです。


では、この考え方を用いて
いくつかの数列の和を考えてみましょう。


では、階差数列が等差数列になるような
数列を考えてみます。

例えば

2,3,7,14,24・・・

この数列の第n項までの和を求めてみましょう。

一応、普通の求め方は以下の通りです。

suretuwa-10.png

suretuwa-11.png


では、これを、
コンビネーションによって求めてみましょう。

図のように数列の和と階差数列を作ってみます。

suretuwa-06.png

すると、第n項までの和は

数列の初項2
第一階差数列の初項1
第二階差数列の初項3

の3つの数が何回足されているかを
考えればいいわけですね。

第6項までの和を考えてみましょう。

それぞれの数が送り込まれる様子を、
次のような図で示します。

<2が送り込まれる様子>

suretuwa-08.png

<1が送り込まれる様子>

suretuwa-09.png

<3が送り込まれる様子>

suretuwa-07.png

よって、第6項までの和は
12+15+60=87となりますね。

すると、第n項までの和は
次のようにして求めることができます。

suretuwa-12.png

ついでに一般項も求めておきます。

まず、階差数列の第n項までの和が

suretuwa-13.png

であることから、

suretuwa-14.png


オマケとして、ベキ乗和を求めてみましょう。

ベキ乗の数列は、差分をとっていくと、
何回目かに必ず等差数列になりますね。

その階差数列の初項を調べれば、
ベキ乗和は決定されるわけですね。

平方和

suretuwa-15.png

を考えてみましょう。

第一階差数列は

3,5,7,9,・・・

第二階差は

2,2,2,2,・・・

つまり、1,3,2が
何回足されるかの数え上げです。

suretuwa-16.png


同様に、立法和、4乗和も記しておきましょう。

suretuwa-20.png


ちなみに、ベキ乗和を差分化していくのは、
ライプニッツのアイデアです。
私は、差分と微分の親和性について
授業で説明する時にこの話題を
しばしば取り上げています。



最後に、予防線を張っておきます。

私は、数学の先生方に、
このような、教科書にはない
面白話題やマニアックな手法
などの話をよくするのですが、
それに対して、めちゃ面白がってくれる人と
顔が曇って、話題をそらそうとする人の
2つのパターンに分かれます。

後者の人はだいたいこんなことを
言ってきます。

「これって授業で教えているんですか?」

「こんなことを教えるとかえって
混乱するんじゃないですか」

「面白いかもしれないけれど
本校の生徒にはムリ」


あ~あ。脱力。
共に数学を語るに足らず。

彼らになぜ数学を教えるのかと聞くと
きっとこう答えるのです。

生徒に受験を乗り越えさせたい
教科書をわかりやすく教えたい
生徒にテストで良い点数をとらせたい

これは一見、「生徒のため」
のようにみえます。
事実彼らは「生徒のため」という言葉を
錦の御旗のようによく使います。

恐らく、生徒との間にも
そういった関係性が成立して
授業をまわしているんだろうな、と思います。

「先生これってでるの」
「出すからやっとけ」
「でもこっちは今は覚えなくていいから」

とかね。

でもねえ。

私には、むしろ生徒を信頼していない
上から目線のように感じるのです。

「生徒のため」を連呼する人にかぎって
教える内容を狭めたり、
生徒を箱庭に入れて過剰にコントロールし
自由な学びを奪っている。


生徒はノーリミットであることを知っていて、
教師ができることなんて生徒の背中を
ちょっと押すことに過ぎないことも知っていて、
そして、教師自身が、
教科の面白さにハマっていて、
そのエロスを子どもたちに降り注ぐ。

そんな教師に私はあこがれるのです。

ちょっと脱線してしまいましたね。

失礼しました。



 

黒橋の鉄人セミナー2日目の話題

先週は3日間、
黒橋の鉄人セミナーを行いました。

その2日目に扱った2017年の東大の問題。


02ベクトルの分解東大

tetujintodai01LT.jpg

一応上写真のような解答を行ったのですが、
途中、2人の生徒に協力してもらい
輪ゴムを使った簡単な演示をしたら
わりと講評でした。

そこで、昨日、
校長室で再現動画を撮ってみました。

東大のベクトルの問題ですが、
実は中学校の知識(比例)だけで
理解できるかと思います。

尚、カメラマンは副校長先生です。




退職したら
こんなワンポイント動画をたくさん作ろうかな。


 

至福の数学三昧日和

昨日は、黒橋の鉄人セミナー初日ということで、
3年生80人に講座を行いました。

内容はベクトルの基本のおさらい。
明日から本格的な演習です。

s-20180116-01.jpg

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素直で一生懸命な生徒達に囲まれ、
気持ちよく120分を終えることができました。

生徒たちには冒頭に話したことですが、
私はこうしてお膳立てしてもらった中で
六方踏んで気持ちよく
講座をさせてもらっているけれど、
これを日々行っている3年生の先生方は
本当に大変だと思います。
あらためて敬意を表したいと思います。


さて、この講座を終えて、校長室に戻ったら、
先日私に手紙をくれた数学大好き少女の
Kさんが訪ねてくれました。

2人でニコニコウキウキしながら、
しばらくの間、数学談議に
花を咲かせました。

Kさんは、数学の授業が楽しいこと、
数学の美しさ、考えることの楽しさ、
問題が解けたときの気持ちよさ、
自分が味わった爽快感を
他の人に伝えることの喜びについてなど、
目を輝かせながら話してくれました。

ただなかなかその思いを分かち合う人が
周囲にいないとのこと。
(わかりますわかります)

話しをしながら、昔、進学塾SEG代表の
古川昭夫先生が書かれていた
「教育理念」を思い出しました。

以下それを引用します。

私たちが目指すことは、
すでに皆さんの心の中にある
「数学を好きになる心」を育てることです。

そして、それこそが数学を得意になる
唯一の「王道」だと信じています。
それでは、どうすれば
「数学を好きになる心」を
育てることができるでしょうか? 

それには、数学が楽しいと思っている教師に
習うことがまず必要です。

数学が楽しいと自らが信じていて、
自らも楽しみ、その楽しみを
他の人と分かち合いたいと思っていて、
しかも、生徒がどんなところで
間違えやすいかをわかっていて、
注意深く教えてくれる教師に出会えば、
自然に誰だって
数学に興味がわいてくるものです。

その上で、数学の美しさ・
考えることの楽しさを
自分自身で体験することが欠かせません。

いくら感動的な絵を見ても、
自分で絵を描かない限り、
絵を描く技術は上達しません。

数学の技術も、
自分自身で手と頭を動かさない限り
伸ばすことはできません。

でも、好きなことなら、
そのために努力することは
苦痛ではないはずです。
(以下略)



Kさんには、
「博士の愛した数式」と
「数の悪魔」を貸しました。

「今度は『博士の愛した数式』の感想を
校長先生と語り合いたい」

と屈託なく話し、Kさんは校長室を後にしました。


そんなKさんと数学談議を楽しんだ後、
一人ホワイトボードに向かって
センター試験のちょっとしたポイントを
2つほど書いて遊びました。

【その1】集合の問題

マトリクス型の図を作れば
どんな問題でもどんと来いです。

s-20180116center-02.jpg

因みに2014年は、
4つの集合の問題が出ましたが
それも同様の図でできます。

カルノー図2014

尚詳しくはこちらにその記事があります。

センター試験集合について→★★

【その2】微積の問題

これもセンター試験定番。

s-20180116center-01.jpg

centerbiseki-02LT.jpg

centerbiseki-01L.jpg

「接線の一発式」、
「差の式」からの「まるごと積分」。
これで[1]は3分で終了です。

こんなことをやっていたら、
学校施錠の時間になっていて、
慌てて帰路につきました。


いやあなんという至福の数学日和。



 

「私の恥ずかし秘密授業実践ノートから」

「数学教室」がとてもお洒落に
リニューアルされています。

その2月号が本日届きました。

s-sukyo2018-02.jpg

今月号の特集
「そのひとひねりが授業を決める」
に執筆しております。

実は、原稿を依頼されていたことを失念していて、
締め切りを大幅に過ぎてから督促があり、
焦って書きあげました。

4ページだったので、
過去の私の恥ずかし秘密実践ノートを公開して
ページ数をかせぐという技を使ってしまいました^^。

以下に記事の一部を紹介します。




1 はじめに~授業を良きものにするには~

先日、教育関係者のある集会があったのですが、
その中で私の役割は、2020年度から
センター試験に代わって登場する
「大学入学共通テスト」の数学の問題を
評価するというものでした。

私はガッツリ批判的なスライドを用意していました。
そうしたらですね、
目の前に文部科学省の人が
座っていたんですね(驚)。

ありゃ、こりゃまずいかなと、
つい人の良さがでて(笑)、
冒頭にこんなことを言ったのでした。

新しいものを『良きもの』にするのは、
それを進めるイエスマンの存在や
忖度の文化ではない。
むしろ批判的な視座に立つ
カウンター勢力の存在が
大切ではないだろうか。
(byしもまっち)

私みたいな批判的な存在が
いかに大事かってことを先回りして
釘をさしたおいたわけですね(笑)。

何か新しいことを始めるとか、
あるいは、現状を改革しようというとき、
必ず「くだらん」とか「そもそも」
という人たちが出てきます。

でもそんな彼らの存在によって、
自己内対話が深まるし、
また、議論の輪が生まれてくるはずです。

そして、そのような相克によって、
より太く強いものができあがって
いくのではないかと思うのです。

そして、このことは、
授業の改善についても
あてはまるのではないでしょうか。

私は、三十数年高校の数学教師として
教壇に立ってきましたが、振り返ると、
自分の中で「これはもらった!」
という授業はさっぱりありません。

それより「もっとこうすればよかった」
「どうしてあんなことを言ってしまったんだろう」
という後悔や自責の念にかられることの方が
はるかに多いです。

若い頃は、生徒ができない場面に出会うと、
自分の授業のダメさかげんを棚に上げ、
「俺はちゃんと教えたはずだよね」
「なんでできないんだ」
「わからなかったら質問に来い」
「課題を提出していないからじゃねえか」
「家で予習・復習してないからわからないんだ」
なんてことを言い出します
(ああ、書いていて『うわあ』と叫びたくなりました)。

もう少しマイルドな対応としては、
「今わからなくても
後でもっかいやるからその時わかる」
なんてのもありますね(汗)。

そうやって、暴君のように振る舞って、
教室を後にしてから、
ものスゴ~イ自己嫌悪に
陥ったりするわけですね。

この悪循環の中では何も解決しません。

そんな中、不満を生徒に向けるのではなく、
「どうして生徒は理解できなかったのだろう」と、
「なぜ」を掘り下げていく中で、
「じゃあどうすればいいのか」という、
自身の授業を改善する方向に
考えが進んでいくと好循環が生まれます。

ネタを仕込んで、ひと手間かけた授業を行うと、
しばしば生徒たちから、
とてもいい反応があります。

「先生の授業面白い」などと言われると、
お調子者の私は、嬉しくなって、
もっと面白くしようとハッスルします。

教具を開発したり、板書を工夫したり、
キャラクタを登場させたり、ネタを仕入れたり・・

こういった「ひとひねり」を
多少なりとも加えてくることができたのは、
「授業が面白くない」
「授業がわからない」といってくれた
生徒たちのおかげであり、
また、ひと工夫した授業に
喝采をおくってくれる(優しい)生徒たちの
おかげでもあるわけです。

では、次ページから3ページにわたって、
私の「恥ずかし秘密授業実践ノート」を
公開したいと思います。
内容は直線の方程式の指導計画です。

私は、このようなノートをたくさん作っていて、
これを基にして、授業を組み立てながら、
少しずつバージョンアップ、
モデルチェンジしています。

手書きで見にくいのですが、ご笑覧ください。




続きは「数学教室」2月号で!

s-sukyo2018-02-01.jpg

 

「Kさんの手紙への返事」

先月の終業式後に、
将来数学の教師になる夢を
持っていている、
Kさんという生徒から、
担任の先生経由で
お手紙をいただきました。

手紙を読むと、

数学がとても楽しくて、
学んでいく度に新しい発見や
驚きがたくさんあること、

そんな数学を教えている
数学教師を尊敬していること、

将来は「数学が楽しい!」って
思ってもらえるような教師になる
夢を持っていること、

そして、私と数学の話しを
いっぱいしたいこと、

などが綴られていました。

私はKさんの熱い思いに
溢れた言葉にとても感動しました。

そして、手紙の最後には、私に対して
こんな質問を投げかけてくれました。

校長先生は、
数学を楽しんでやってもらうための
工夫をしていましたか?

校長先生は『数学的見方・考え方というのは
教師が「教える」ものではなく、
生徒達が自分で「つかみ取る」ものだと思う』
とおっしゃっている記事を拝見しました。

私はこの言葉に驚きました。
どのようなことなのでしょうか。



今日は、Kさんに手紙の返事を書きました。

書いていたら、自分の中で、
数学に対する思いを
再確認するきっかけになりました。

そういうわけで、手紙の内容は、
Kさんだけではなく、
同じように数学に対して関心を抱いている
皆さんへのメッセージになるのではと思い、
ブログにもアップすることにしました。

Kさんの手紙のおかげです。
ありがとうございます。





Kさんへ
お手紙ありがとうございます。

Kさんの数学に対する熱い思いに
とても感動しました。

そして、このようにお手紙にして
「思いをことばで表現する」こと、
とても素晴らしいと思います。

Kさんの、そんな思いの強さと行動力は、
これから高校生活を送る中で
大きな武器になっていくと思います。

「数学の見方・考え方」は、
教師が「教え込む」ことによって
自動的に身に着くものとは私は思いません。

その「教え」を受け、
何を「気づく」かが問題です。

もちろん、その気づきのきっかけは、
教師の教えだったり、
教科書を読んだときだったり、
友達と話をしているときなど、
様々な場面が考えられます。

でも、そこで「気づいた」のは自分自身です。
それは、きっと自分の中にあった
いくつかの疑問や、
これまで経験した中で獲得していた
「事実」の集まりが、
繋がりをもって一つの「知識」として
編み直され、腹落ちした瞬間
ではないかと思うのです。

「気づき」が起こるのは、
人によって異なります。

ふとしたきっかけで
どんどん気づく人もいれば、
いつまでたっても
何も気づかない人もいます。

その違いはどこから来るのでしょう。

私は、それはいつも物事を
深く考えているかどうかの
違いではないかと思います。

そして、つねに好奇心を持っていること、
自分で問いを立て、
寄り道する心の余裕を持っているか
ということも大切かなとも思います。

まさに、Kさんのような
人ではないかと思います!

私は昨年の3月まで2年間にわたって、
数学関係のある雑誌に
「数学という名の自由の翼」という
数学エッセイを連載していました。

その最終回に、ここでお話した
「気づき」「自ら掴み取る」ということについて
まとめています。

コピーを添付しました。

数学教員向けの文章ですが、
是非読んでみてくださいね。

(参考までにその文章(の一部)はこちらです→

さて、「気づきの感度」が高まれば、
日常の何気ないところに、
数学が潜んでいることが見えてきます。

いくつかのエピソードを
思いつくまま記してみます。

<その1 私の小学校時代の恥ずかしノート>

kさん手紙ー07

写真は、私が小学校4年生の時のノートです。
数の性質についてある発見をして、
それを記しています。

とても美しい結果に感動して、
こうしてノートに記したのでしょう。

でも、よく見ると、
途中の足し算が間違っていますね。

ですからこれは残念ながら
新しい発見ではありません。

結果として失敗作です。

でも、だからといって、私は、
このことに価値がないとは思いません。

たとえ結果がうまくいかなくても、
自分で不思議に気づき、
なぜそうなるかを考えたことは、
自分の人生の中で、きっと大きな宝物に
なるはずだと思うからです。

私は一人でこのような数の世界で
遊ぶことが好きでした。

今思うと、私が数学教師になった原点は
こんな他愛のない、
学童期の経験にあるのかもしれません。

<その2 なぜ数学を学ぶか「そこに数学があるから」>

円周率の最高桁算出者として
ギネスブックにも載っている
東京大学教授の金田康正氏は、

「円周率を何桁もだすことが
何の役に立つのですか」

という質問に対し、
もちろん技術的な重要性も述べていますが、
それだけでなく、

「だって1兆桁目が『2』と
人類で初めて知るのは自分なんですよ」

というロマンも述べています。

登山家のジョージ・マロリーは、
「あなたはなぜ山に登るのか」
という問いに対して、
「そこに山があるから」と答えたのは
有名な話ですが、

私は、「なぜ数学を学ぶか」
の問いに対しても同様のことが
いえるのではないかと思います。

数学に限らず、学問を学ぶ動機は、
役に立つとか、金儲けするためとか
だけではなく、純粋に
「知りたいことを知ろうとする欲求」
なのではないかと思います。

ノーベル医学賞を受賞した
利根川進先生は

「人はなぜ科学をするのか。
それは知らないことを知ろうとする
人間の属性である。
ものを知ろうということは
人間であるということ。
だから人間が存在する限り
科学は存在する」

と述べています。

人は美しい音楽に感動し、
美しい絵に感動し、
先人の作った詩や文章に感動します。

これが人間の「生」を楽しむ
原動力だと思います。

数学という名の大きな文化を学ぶ意味も
そこにあるのではないでしょうか。

<その3 自然界・自然現象に潜む数学>
 
kさん手紙ー05

上の写真は、円形の枠に
石鹸幕を張ったものです。

輪が中にできるように糸をわたしています。

今、その石鹸膜の内部にある
糸の輪で囲まれた部分を
針でつついて石鹸膜に穴をあけます。

kさん手紙-06

すると、きれいな円形の穴があきます。

石鹸膜はどの部分も
同等な張力で張られています。

だから輪の中に穴があくと、
外側の膜が引っ張る力によって、
内部の輪は面積を最大にしよう
という現象がおきます。

糸の長さが一定なので、
その中で最大の面積を持つ図形が
円というわけです。

言い換えると、同一面積の図形の中で
周の長さが最も短い図形が円なので
円に落ち着くといってもいいかもしれません。

kさん手紙ー08

上の写真は、寒い冬、
猫がまるで球体のように
丸くなっている様子です。

なぜ丸まっているのでしょう。

猫は気温が下がると、
体温をできるだけ放出したくないために、
体の表面積をできるだけ小さくしようとします。

球とは、決まった体積を覆う
最小の表面積を持つ物体だからです。

猫も石鹸幕もまるで数学を知っているようですね。

以前、「やまとなでしこ」
というテレビドラマの中で、

「数学や物理というのは
神様のチェスを横から眺めて
そこにどんなルールがあるのか、
どんな美しい法則があるのか
探していくことだ」

という物理学者のリチャードファインマンの
言葉が紹介されていました。

ここで述べた、石鹸幕の実験にも、
丸まった猫の話しにも

「エネルギーが最小の状態で、
安定する方向に推移していく」

という共通の原理が
働いていることが推察できます。

いわばそれが

「神様が行っているチェスのルール」

なのでしょうか。


なぜ数学を学ぶのか。

それは、私たちの周りにある
自然現象の秘密を解く
(=神様が行っているチェスのルールを覗く)ため、
ともいえるかもしれませんね。

自然界にも、至るところに数学が潜んでいます。

kさん手紙04

上の写真は、オウム貝の断面です。

この貝殻の中心からの距離を調べると、
1回転する度にぴったり3倍になるように
一様倍変化していることがわかります。

つまり、半径は指数関数という
法則にしたがって変化しているわけですね。

このオウム貝が描く曲線は
「対数螺旋(ベルヌーイの螺旋)」と呼ばれ、
その数学的性質を応用して、
床屋で使うハサミや、
写真のような、紙を裁断する道具の
刃の形状などにも応用されています。

kさん手紙-09

オマケとして、お笑いになりますが、
バナナに潜む数学を見つけてみましょう。

kさん手紙ー03

バナナは、上写真のように3つの部分が
120度の角度でくっついてできています。

この120度の関係が
自然界でよく見られる構造で、
サッカーゴールのネットや、
新幹線の車両などにも活かされています。

バナナを斜めに切ると「楕円」という図形が現れ、
その皮を展開すると
サインカーブという数学的な曲線が生じます。

kさん手紙ー01

kさん手紙ー02

楕円は腎臓や尿管にできた結石を粉砕する
「体外衝撃波結石破砕術」(ESWL)
と呼ばれる医療機器に応用されますし、

サインカーブは至るところに応用されますが、
例えば、衣服を作るときの
袖ぐりの型紙にも現れる図形でもあります。


以上、思いつくまま、
少しだけ書き散らかしてみました。

こうして見ると、
「世の中は、何と楽しみにみちているのか」
と思わずにはいられませんね。

Kさんのような、気づきの感度が高い人、
そして思いと行動を共にすることができる人は、
きっと高校生活を通して、
楽しい数学の経験を積み、
美しい数学の世界を
発見することができると思います。

そして、それによって豊かな人生を
歩んでいけるのではないかと思っています。

Kさんの、数学の楽しさを見つける旅を
いつでも応援しています!

しもまっち

p.s.
昼休み時間や放課後、時間が許せば
いつでも校長室に遊びに来てくださいね。
数学についてたくさんお話をしたいし、
見てもらいたい数学の書籍も用意していますよ。